滑塊木板滑動摩擦力方向判斷(木板滑動摩擦力的高中物理題)

對于高中物理中的木滑塊問題，分析往往需要分段考慮，求解過程非常揪心。這里有一個高層次的視角，即計算物理的視角，可能有助于老師或?qū)W生理解木制滑塊問題。

木制滑塊問題的難點在于摩擦力的方向總是會改變。高中物理的方法是基于同速突變等方法分段考慮，這導致了復(fù)雜的分類討論。如果你不小心，你就會發(fā)生錯誤。我們先來分析一下摩擦力的方向，注意它只與正負相對速度有關(guān)，所以可以用符號函數(shù)來表示。符號函數(shù)定義為

0\\0x=0\\-1x0rame'tabindex='0'data-mathml='sgn(x)={1xgt;00x=0#x2212;1xlt;0'角色='演示'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'sgn(x)={1x00x=01x0\rmsgn(x)=\left\{\begin{array}{lr}1\quadx0\\0x=0\\-1x0\end{數(shù)組}\right.\\

其圖像如圖1所示，

圖1：Sign函數(shù)但實際上，sign函數(shù)存在不連續(xù)性，在數(shù)值計算中很難處理，所以可以用雙曲正切函數(shù)代替，即

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='tanh#x2061;(x/#x03F5;)'角色='演示文稿'tanh(x/)\tanh{(x/\epsilon)}，rame'tabindex='0'style='字體大?。?00%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)數(shù)學='#x03F5;'role='presentation'\epsilon表示符號發(fā)生變化的過渡區(qū)域的厚度。圖2顯示不同ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03F5;'role='presentation'\epsilon情況下的函數(shù)圖像。

圖2：雙曲正切函數(shù)可見，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='#x03F5;'role='presentation'\epsilon越小，圖像越接近符號函數(shù)。一般我會選擇rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03F5;=10#x2212;9'role='presentation'=109\epsilon=10^{-9}，但是有的同學可能會說會害怕，所以后續(xù)分析只會取為rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x03F5;=0.001'角色='演示'=0.001\epsilon=0.001。我們用一個具體的例子來說明這個方法。這個例子來自知友

@袁野的一篇文章，其經(jīng)典做法請參考袁野：袁野談經(jīng)典19：板塊問題的解決方案“牛二+運動+v-t圖像”42條同意·8條評論文章示例：如圖圖中，粗略放置了一個質(zhì)量塊'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='m=4kg'role='presentation'm=4kgm=4\,\rmkg一塊質(zhì)量長的木板'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)放在長木板的右端。-mathml='mA=1kg'role='presentation'mA=1kgm_A=1\,\rmkg滑塊A，將質(zhì)量rame'tabindex='0'style='font-size:100放在長木的左端木板;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='mB=5kg'role='presentation'mB=5kgm_B=5\,\rmkg滑塊B，兩個滑塊與長木板之間的動摩擦系數(shù)'1=0.5_1=0.5，長木板與地面的動摩擦因數(shù)分別為'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='#x3BC;2=0.1'角色='演示'2=0.1_2=0.1。在某一時刻，兩個滑塊拉動'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='v0=3m/s'role='presentation'v0=3m/sv_0=3\,\rmm/s以相反方向移動。當兩個滑塊相遇時，A和長木板恰好相對靜止。當?shù)刂亓铀俣葹閞am'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='g=10m/s2'角色='演示'g=10m/s2g=10\,\rmm/s^2

，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，求：

(1)當滑塊B開始移動直至滑塊B與長板相對靜止時，滑塊B與長板之間的摩擦產(chǎn)生熱量。

(2)滑塊A、B開始移動時的距離。圖3分析：設(shè)滑塊和木板的速度為'tabindex='0'style='font-size:100%；display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='vA'角色='演示'vAv_A，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='vB'角色='演示'vBv_B，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='v'role='presentation'vv，則滑塊A上的摩擦力可表示為

rame'tabindex='0'data-mathml='fA=#x2212;sgn(vA#x2212;v)#x03BC;1mAg=#x2212;tanh#x2061;(vA#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mAg'角色='演示'樣式='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'fA=sgn(vAv)1mAg=tanh(vAv)1mAgf_A=-{\rmsgn}(v_A-v)\mu_1m_Ag=-\tanh\Big(\frac{v_A-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Ag\\同理，可以表示滑塊B與木板之間受到的摩擦力的關(guān)系，最終三個物體的運動方程為，

rame'tabindex='0'data-mathml='mAdvAdt=#x2212;tanh#x2061;(vA#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mAg'角色='演示'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'mAdvAdt=tanh(vAv)1mAgm_{A}\frac{dv_A}{dt}=-\tanh\Big(\frac{v_A-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Ag\\rame'tabindex='0'data-mathml='mBdvBdt=#x2212;tanh#x2061;(vB#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mBg'角色='演示'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'mBdvBdt=tanh(vBv)1mBgm_{B}\frac{dv_B}{dt}=-\tanh\Big(\frac{v_B-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Bg\\rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'數(shù)據(jù)-mathml='mdvdt=tanh#x2061;(vA#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mAg+tanh#x2061;(vB#x2212;v#x03F5;)#x03BC;1mBg#x2212;tanh#x2061;(v#x03F5;)#x03BC;2(mAg+mBg+mg)'角色='演示'mdvdt=tanh(vAv)1mAg+tanh(vBv)1mBgtanh(v)2(mAg+mBg+mg)m\frac{dv}{dt}=\tanh\Big(\frac{v_A-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Ag+\tanh\Big(\frac{v_B-v}{\epsilon}\Big)\mu_1m_Bg\\-\tanh\Big(\frac{v}{\epsilon}\Big)\mu_2(m_Ag+m_Bg+mg)這是一階非線性普通微分方程組，數(shù)值解比較簡單，注意初始條件，

rame'tabindex='0'data-mathml='vA(0)=#x2212;3,vB(0)=3,v(0)=0'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'vA(0)=3,vB(0)=3,v(0)=0v_A(0)=-3,\quadv_B(0)=3,\quadv(0)=0\\這里使用數(shù)學軟件rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='Mathematica'role='presentation'MathematicaMathematica解決了它。大約10行代碼，我們得到了ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:內(nèi)聯(lián)塊；相對位置：color:綠色；'data-mathml='v#x2212;t'角色='演示'vtv-t圖片，

圖4：v-t圖。其實我們可以繼續(xù)向后計算，只要拉長時間就可以了。如圖5所示，系統(tǒng)被計算為靜止的。

圖5：v-t圖?？梢姡诜侄畏治鲋?，我們已經(jīng)借助數(shù)值算法毫不費力地獲得了運動的物理圖像，加深了我們對問題的理解。它可以用來測試解題過程，也可以利用一些編程技巧直接得到答案，非常好用。

[數(shù)學代碼]

清除['全局`*'];m=4;mA=1;mB=5;\[Mu]1=0.5;\[Mu]2=0.1;g=10;\[Epsilon]=0.001;eqA=mAvA[t]==-Tanh[(vA[t]-v[t])/\[Epsilon]]*\[Mu]1*mA*g;eqB=mBvB[t]==-Tanh[(vB[t]-v[t])/\[Epsilon]]*\[Mu]1*mB*g;eq=mv[t]==Tanh[(vA[t]-v[t])/\[Epsilon]]*\[Mu]1*mA*g+Tanh[(vB[t]-v[t])/\[Epsilon]]*\[Mu]1*mB*g-Tanh[v[t]/\[Epsilon]]*\[Mu]2*(mAg+mBg+mg);sol=NDSolve[{eqA,eqB,eq,vA[0]==-3,vB[0]==3,v[0]==0},{vA,vB,v},{t,0,2}]//First;Plot[{vA[t]/.sol,vB[t]/.sol,v[t]/.sol},{t,0,1.5},PlotRange-All]