三角函數(shù)任意角和弧度(任意角的三角函數(shù)的弧度數(shù))

首先我要說明的是，關(guān)于三角函數(shù)的知識點，我專門給學生寫了幾份講義。因為三角函數(shù)的知識點貫穿了整個高中階段。它是高中數(shù)學教材的重點內(nèi)容，因此學生必須了解和掌握三角函數(shù)的系統(tǒng)知識。我們高考的時候，三角函數(shù)的知識點不能丟分。

接下來，我將基于三角函數(shù)知識點的網(wǎng)絡(luò)和構(gòu)造知識的系統(tǒng)來分析知識點三角函數(shù)的任意角度和弧度系統(tǒng)。

任意角度和弧度制，我先分析任意角度。

第一個問題，任意角度的含義

1.角度的形成

學生們都知道，角可以看作是平面上的射線繞其端點之一從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形。換句話說，由兩條具有公共端點O的射線組成的圖形稱為角。這個公共端點O稱為角的頂點，這兩條射線稱為角的邊。起始位置處的射線OA稱為角的起始邊，結(jié)束位置處的射線OB稱為角的終邊。如果這條射線形成的角度逆時針旋轉(zhuǎn)，我們將其定義為正角。如果這條射線順時針旋轉(zhuǎn)形成的角度，我們將其定義為負角。一條射線繞其端點O之一旋轉(zhuǎn)，無論逆時針旋轉(zhuǎn)還是順時針旋轉(zhuǎn)，或者旋轉(zhuǎn)多少次，都會回到原來的位置。我們將其定義為圓周角。也可以說，終止邊OB與起始邊OA重合時形成的角度稱為周向角。如果一個鏡頭沒有進行任何旋轉(zhuǎn)，我們將其定義為零角度。

2、象限角

在平面直角坐標系中，使角的頂點與原點重合。如果角度的起始邊與橫軸的正半軸重合，則角度的終止邊旋轉(zhuǎn)到停止的極限，這表明它是哪個象限角。如果一個角的端點落在坐標軸上，則該角不是象限角。那么這種角度又分為三種情況。(1)起始邊在橫軸上，終止邊在縱軸上。這樣的角度是直角。(2)起始邊在橫軸的半軸上，終止邊在縱軸上。橫軸另一半上的角是直角。(3)終止邊旋轉(zhuǎn)后與起始邊重合。這樣的角度就是圓周角。

3.端邊相同的角

所有與角同邊的角，包括角，可以組成一個集合，s={|=+K.360度，kZ}。即，與角度具有相同末端側(cè)的任何角度都可以表示為角度與整個圓周角度之和。

讓我們進一步探討一下。如果端邊相同，則角度不一定相同。如果K是整數(shù)，是任意角，那么與角相同的角有無數(shù)個。它們的差是360度的整數(shù)倍。

關(guān)于與角的端邊共線或垂直的角，以及特殊位置的端邊的角的集合，這里不再單獨列出。這兩個問題就留給學生通過學習教材和教學參考資料來獨立完成這一學習任務(wù)。

第二個問題，弧度制的含義

1.什么是弧度制？

要討論弧度系統(tǒng)的含義，我們必須澄清角度系統(tǒng)。讓我們結(jié)合角度系統(tǒng)來研究弧度系統(tǒng)。目標是理解和掌握弧度系統(tǒng)是什么。

我們用來測量角度的單位稱為角度系統(tǒng)；我們使用弧度作為測量角度的單位稱為弧度系統(tǒng)。同學們一定要弄清楚這兩個概念。

長度單位等于半徑的圓弧所對的圓心角稱為一弧度角。請注意，弧度由字符串rad表示。一般來說，正角的弧度數(shù)為正數(shù)；負角的弧度數(shù)是負數(shù)。零角的弧度數(shù)為Q。若半徑為r的圓的圓心角為弧長L，則角的弧度數(shù)的絕對值為：丨丨=1/r。這里的符號由角的端邊的旋轉(zhuǎn)方向確定。

同學們，我們已經(jīng)分析到這里了，但是我們還需要做一些提示：

第一個點的大小，即弧度角，與所取圓的半徑無關(guān)；

第二點，用弧度表示角度大小時，可以省略“弧度”一詞。但用“度”作為角度單位表示角度時，度（.）不能省略，必須寫清楚。

第三點，在弧度制下，角度集合與實數(shù)集合R之間建立了對應(yīng)關(guān)系。

2.角度和弧度的換算規(guī)則

360度=2rad，180度=rad

1度=/180倍拉德

0.rad

1rad=(180/)度=57.30度

=57度18分鐘

（注意度、分、秒必須用符號o、＇、'表示，不能用漢字表示，以后就不會提示了）

3、弧度制中扇形的弧長公式和面積公式

(1)、弧長公式

L=丨丨乘以r

(2)、面積公式

S=1/2倍Lr

=1/2丨丨乘以r的絕對值

需要說明的是，L為弧長，r為圓的半徑，為圓心角的弧度數(shù)。

（同學們注意，這里用文字表達的這兩個公式可能并不準確，以現(xiàn)行教材中的公式為準）

我們一起來做個測試

已知角度是第一項極限角，那么/2、2是哪個象限角？

解，就是第一象限角

K乘以360度90度+k

乘以360度

K180度/245度

+K180度

/2為第一象限角

或第三象限角

k乘以720度2180度+

K倍720度

2為第一個第三象限角

或者終端邊緣位于y軸的非負半軸上。

請同學們注意，這個解法有沒有錯誤？讓學生自己再做一遍，然后與講義中的整個解題過程進行比較。

（本講義中存在錯誤，希望同學和編輯批評指正，謝謝?。?/p>