少年被殺案后續(xù)(少年歌行)

很多人在剛上大學(xué)或者還沒(méi)有到大學(xué)注冊(cè)的時(shí)候，就認(rèn)為自己會(huì)加減乘除。作者本人也太囂張了。誰(shuí)沒(méi)有年少輕狂？然而，大約十年前，當(dāng)我擔(dān)任物理學(xué)教授大約十年后的一天，我發(fā)現(xiàn)我真的不懂加法、減法、乘法和除法以及與這些運(yùn)算相關(guān)的數(shù)字。本文向即將進(jìn)入大學(xué)或已進(jìn)入大學(xué)的年輕朋友介紹一點(diǎn)關(guān)于數(shù)字的基礎(chǔ)知識(shí)及其運(yùn)算規(guī)則~據(jù)說(shuō)中學(xué)就該學(xué)。希望他們博士畢業(yè)的時(shí)候能夠自信地說(shuō)出來(lái)。“我理解這篇文章中的所有內(nèi)容?！?/p>

（本文內(nèi)容摘自曹則賢《云端腳下~從一元二次方程到規(guī)范場(chǎng)論》，科學(xué)出版社，2020）

撰文曹則賢（中國(guó)科學(xué)院物理研究所研究員）

關(guān)于數(shù)字，開頭是自然數(shù)，1、2、3……，用于計(jì)數(shù)。自然數(shù)的存在，形而上地提醒人們虛無(wú)和空虛，所以我們的祖先好不容易才引入了0——0這個(gè)符號(hào)，它的出現(xiàn)晚于[1]。自然數(shù)求和是天然的，任意兩個(gè)自然數(shù)之和都還是自然數(shù)，而且加法還滿足交換律，m+n=n+m。這是經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。減是加的逆操作，一個(gè)實(shí)實(shí)在在的物理過(guò)程。自然數(shù)的減法有些尷尬，當(dāng)mn時(shí)，m-n的結(jié)果不在自然數(shù)中。當(dāng)m=n時(shí)，我們得引入新的對(duì)象0，m-n=0。這個(gè)還算相當(dāng)自然。當(dāng)mn時(shí)怎么計(jì)算m-n？計(jì)算m-n竟然還真有需求，比如你從朋友處借了3個(gè)金幣轉(zhuǎn)天他從你這里拿走5個(gè)金幣，肉疼的感覺(jué)會(huì)讓你思考3-5的意義。針對(duì)mn的情形下m-n問(wèn)題，人們不得不引入負(fù)數(shù)的概念(印度人約在公元9世紀(jì)才引入負(fù)數(shù))。這樣，我們就有了…-3，-2，-1，0，1，2，3…這樣的數(shù)系，稱為整數(shù)，包括負(fù)整數(shù)、0和正整數(shù)。正整數(shù)就是自然數(shù)。整數(shù)對(duì)于加法及其逆運(yùn)算，減法，都是封閉的。不同的是，m+n=n+m，而m-n=-(n-m)。這個(gè)概念。

乘法也是相對(duì)自然的。自然數(shù)的乘法是封閉的。任意兩個(gè)自然數(shù)的乘積仍然是自然數(shù)并且是可交換的，mn=nm。整數(shù)的乘法也具有閉包性質(zhì)。任意兩個(gè)整數(shù)的乘積仍然是整數(shù)并且是可交換的，mn=nm。然而，整數(shù)的乘法有點(diǎn)尷尬。例如，0n=0是相當(dāng)抽象的。另外，整數(shù)的乘法還有正負(fù)為負(fù)、負(fù)負(fù)為正的規(guī)則，(-m)n=m(-n)=-(mn)，(-m)(-n)=mn。為什么？從物理角度來(lái)看，12、02、3(-2)和(-3)(-2)中的乘法作為物理運(yùn)算可能是不同的。讓我們先記住這些事情，這里我們不會(huì)深入討論它們。讀者在學(xué)習(xí)物理時(shí)遇到乘法時(shí)要多加注意。

我們會(huì)不斷遇到數(shù)字系統(tǒng)擴(kuò)展的情況。為了便于更深入地理解這個(gè)問(wèn)題，我們首先來(lái)看一個(gè)有趣的現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景。當(dāng)魔術(shù)師從裝有3個(gè)小球的碗中抓起1、2、3個(gè)小球時(shí)，你看到并相信碗中還剩下相應(yīng)的2、1、0個(gè)小球。當(dāng)魔術(shù)師拿出第四個(gè)球時(shí)，你會(huì)一邊堅(jiān)持碗里的球數(shù)為0，一邊思考第四個(gè)球的來(lái)源。這種情況下一個(gè)值得注意的問(wèn)題是，在此之前，你只關(guān)注了第四個(gè)球的來(lái)源?！巴雫魔術(shù)師之手”的系統(tǒng)，但是當(dāng)他拿出第四個(gè)球時(shí)，你將系統(tǒng)擴(kuò)展為“碗~魔術(shù)師之手”的手~未知地點(diǎn)”復(fù)雜系統(tǒng)。另外，當(dāng)未知地點(diǎn)被確認(rèn)為碗或魔術(shù)師的手，這個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)退化回“碗~魔術(shù)師的手”這個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)，類似這樣的擴(kuò)展系統(tǒng)的東西在數(shù)系概念的發(fā)展過(guò)程中會(huì)多次出現(xiàn)。

除法是乘法的逆運(yùn)算（人們后悔時(shí)會(huì)幻想逆運(yùn)算），但即使是正整數(shù)的除法也有麻煩。首先，正整數(shù)除法沒(méi)有閉包性質(zhì)。當(dāng)mn時(shí)，僅對(duì)于某些特定的m和n，商m/n為正整數(shù)。面對(duì)5/3和8/6，我們真的不知道該怎么辦。讓我們擴(kuò)展數(shù)字系統(tǒng)并考慮0。0/m=0還是有意義的。每個(gè)人都明白，每個(gè)人都假裝在空中吃飯，最后卻餓了。至于m/0，這確實(shí)沒(méi)什么意義——誰(shuí)覺(jué)得有意義誰(shuí)就知道。展開數(shù)系，并將任意兩個(gè)整數(shù)的商包含到整數(shù)系中。任何正整數(shù)的商m/n稱為有理數(shù)（比例數(shù)）。你看，數(shù)系和運(yùn)算規(guī)則是一體的：自然數(shù)可以加減乘（無(wú)障礙），整數(shù)可以加減乘（無(wú)障礙），只有有理數(shù)可以加減乘并分開（無(wú)阻礙）。

幾何學(xué)的發(fā)展也給我們帶來(lái)了數(shù)系擴(kuò)展的需要。根據(jù)平面的歐幾里得幾何，直角三角形有畢達(dá)哥拉斯定理，c^2=a^2+b^2。當(dāng)a=b=1時(shí)，c^2=2。然而，c^2=2的c不能是比例數(shù)，并且m/n的任意平方不能是2。引入了新符號(hào)，定義為

2不能是比例數(shù)，因此是無(wú)理數(shù)。我們不習(xí)慣2這樣的數(shù)字，或者說(shuō)2這樣的數(shù)字太奇怪了，所以形容詞irrational帶有奇怪、不合理等貶義。Irrationalnumber的中文翻譯是無(wú)理數(shù)。相應(yīng)地，有理數(shù)的中文翻譯就是有理數(shù)。參考關(guān)于整數(shù)的考慮，有理數(shù)也可以具有負(fù)號(hào)。好的，我們現(xiàn)在有了一個(gè)有理數(shù)系統(tǒng)。所有有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都是獨(dú)立的實(shí)體。

對(duì)于一條幾何直線，選擇一個(gè)點(diǎn)作為原點(diǎn)，定義其對(duì)應(yīng)的0。與同一條直線上的所有點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)的數(shù)定義為實(shí)數(shù)，記為R。實(shí)數(shù)存在連續(xù)，并且任意實(shí)數(shù)的任意小鄰域內(nèi)都存在無(wú)窮多個(gè)實(shí)數(shù)。我這里描述的是白話描述，嚴(yán)格的實(shí)數(shù)連續(xù)性理論，但我無(wú)法理解。我們暫且根據(jù)直線的形象來(lái)理解實(shí)數(shù)，直線的范圍是（-，）并且是連續(xù)的。有理數(shù)（整數(shù)是有理數(shù)的子集）是實(shí)數(shù)中的離散實(shí)體，并且度量為零（意味著它們不占用空間）。有理數(shù)的補(bǔ)集是無(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)也有結(jié)構(gòu)性的存在，不能簡(jiǎn)單地用無(wú)理數(shù)的概念來(lái)否定它。無(wú)理數(shù)如何成為無(wú)理數(shù)？有很多值得研究的地方。例如，a和b都是有理數(shù)。a+b2形式的數(shù)字足以構(gòu)成代數(shù)。它們的加減乘除是封閉的，即結(jié)果仍然是a+b2的形式。a+b2當(dāng)然是實(shí)數(shù)，但似乎已經(jīng)有了二進(jìn)制數(shù)的含義?？梢岳斫鉃橛捎欣聿糠趾蜔o(wú)理部分組成（約2）。

這就是二維空間笛卡爾坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換——復(fù)數(shù)的乘積具有表達(dá)二維平面中旋轉(zhuǎn)的功能！1830年左右，愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家威廉·羅文·漢密爾頓爵士(1805-1865)認(rèn)為，將復(fù)數(shù)寫成實(shí)數(shù)加虛數(shù)會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)。復(fù)數(shù)應(yīng)該是遵循特定算法的數(shù)字。具有兩個(gè)分量的數(shù)字可以寫為(a,b)。漢密爾頓稱其為代數(shù)偶，現(xiàn)在也稱為二進(jìn)制數(shù)。漢密爾頓了解二進(jìn)制數(shù)（即復(fù)數(shù)）可以表示二維平面中的旋轉(zhuǎn)，因此想要發(fā)明描述三維空間中的旋轉(zhuǎn)的數(shù)字。于是，他在1843年10月16日下午發(fā)明了四元數(shù)。四元數(shù)q=a+bi+cj+d，三個(gè)單位虛數(shù)滿足關(guān)系ij=k，jk=i，ki=j；ij=-ji,jk=-kj,ki=-ik;i^2=j^2=k^2=ijk=-1。從四元數(shù)q=a+bi+cj+d中，我們得到術(shù)語(yǔ)標(biāo)量（其中的a）和向量bi+cj+dk，它們用于表示電磁學(xué)中的電場(chǎng)矢量和電磁勢(shì)標(biāo)量。后來(lái)，矢量分析和線性代數(shù)也得到發(fā)展。經(jīng)典力學(xué)、量子力學(xué)和量子場(chǎng)論中的真實(shí)或抽象旋轉(zhuǎn)均由四元數(shù)表示。年輕人，這些內(nèi)容你應(yīng)該在研究生的時(shí)候?qū)W習(xí)，但是我建議你在大學(xué)的時(shí)候?qū)W習(xí)！請(qǐng)注意，四元數(shù)不滿足交換律，也就是說(shuō)，一般來(lái)說(shuō)，

基本22矩陣的矢量部分可以用來(lái)描述電子的自旋，我們也可以看到量子力學(xué)和相對(duì)論的統(tǒng)一。為此，你需要的數(shù)學(xué)工具就是群論，而群論原來(lái)是一個(gè)“簡(jiǎn)單的”數(shù)學(xué)領(lǐng)域，“除了加減乘除之外只使用乘法”。是不是很可怕？

減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，連續(xù)乘法的逆運(yùn)算帶來(lái)了平方根的問(wèn)題。除法對(duì)于數(shù)字的存在過(guò)于嚴(yán)格。（一元）整數(shù)除以整數(shù)的結(jié)果不一定是整數(shù)。對(duì)于多元數(shù)，除法更為關(guān)鍵。赫爾維茨定理表明，只有1元、2元、4元和8元的數(shù)才有除法，即兩個(gè)數(shù)相除時(shí)，相同的數(shù)保持不變。赫爾維茨定理的證明需要深入的代數(shù)知識(shí)，而作者對(duì)此并不了解。我這里只講結(jié)論。證明過(guò)程最終歸結(jié)為整數(shù)N1是否能被數(shù)字2(N-2)/2整除的問(wèn)題。我們看到只有N=2、4、8三種情況滿足這個(gè)要求。換句話說(shuō)，只有1、2、4和8進(jìn)制數(shù)具有除代數(shù)。認(rèn)識(shí)到可整除代數(shù)只存在于2元、4元和8元數(shù)中有何用處？讓我舉一個(gè)小例子。兩個(gè)二進(jìn)制（四，八）進(jìn)制數(shù)的乘積仍然是二進(jìn)制（四，八）進(jìn)制數(shù)，因此兩個(gè)二（四，八）進(jìn)制數(shù)對(duì)平方取模的乘積仍然是二（四，八）進(jìn)制數(shù)的乘積)以平方為模的進(jìn)制數(shù)。如果兩個(gè)（四或八）個(gè)數(shù)的實(shí)部和虛部都是整數(shù)，則任意兩個(gè)（四或八）個(gè)整數(shù)的平方和的乘積仍然是兩個(gè)（四或八）個(gè)數(shù)的平方和整數(shù)。這就是整數(shù)平方和的恒等式（參見(jiàn)曹則賢《驚艷一擊-數(shù)理史上的絕妙證明》，F(xiàn)LTRP，2019）。如果您了解可除代數(shù)，那么整數(shù)平方和的恒等性證明就是一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算。如果你不懂可除代數(shù)，就很難證明它。

知道一、二、四、八四種可整除數(shù)系的存在，知道加、減、乘、除以及代數(shù)規(guī)則，知道二次、三次、一個(gè)變量的四次方程，以及五次及以上方程沒(méi)有有限根式解（及其證明）。那門我們以為初中就學(xué)過(guò)的叫代數(shù)的課，我們才剛剛邁入它的大門，還沒(méi)有正式開始。——那條賽道的背后是無(wú)限絢麗的風(fēng)景。

在這篇文章中我介紹了我所知道的一小部分加減乘除知識(shí)，我所知道的只是加減乘除知識(shí)的冰山一角。小伙子，你還認(rèn)為你會(huì)“加減乘除”嗎？

我想用這篇文章來(lái)祝福那些真正想學(xué)習(xí)的年輕人。年輕人，不要驕傲，也不要灰心。好好學(xué)習(xí)，你的青春就不會(huì)留下遺憾！

注釋

[1]關(guān)于自然數(shù)是否包含0，其實(shí)是有爭(zhēng)論的。如果你看看0的概念，以及0的符號(hào)在最終被引入之前經(jīng)歷了多少困難，你就會(huì)知道0不是自然數(shù)。當(dāng)你教孩子數(shù)數(shù)或檢查物品時(shí)，是從0開始嗎？數(shù)的性質(zhì)首先是一個(gè)物理問(wèn)題。