2011年數(shù)學(xué)高考卷(2011年高考數(shù)學(xué)試題)
原標(biāo)題:2011年高考數(shù)學(xué)最后一題,綜合導(dǎo)數(shù)題,正確率小于5
大家好!本文想跟大家分享的是2011年高考卷一的數(shù)學(xué)最后一道題。這是一道關(guān)于導(dǎo)數(shù)的綜合題,全面考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、線性方程組、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性,以及分類討論。這題比較難,尤其是第二題,準(zhǔn)確率不到5%。
我們先看第一個(gè)問題:求a和b的值。
a和b是兩個(gè)參數(shù),要求兩個(gè)未知數(shù)的值需要兩個(gè)方程,即需要兩個(gè)條件。但該題只告訴了正切方程的一個(gè)條件,所以我們需要充分挖掘正切方程中隱藏的信息。
首先,切線經(jīng)過點(diǎn)(1,f(1)),因此將x=1代入切線方程可得y=1,即f(1)=1。根據(jù)f(x)的解析公式,f(1)=b,所以b=1。
其次,從切線方程我們可以發(fā)現(xiàn),切線的斜率為-1/2。結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可得f(1)=-1/2。所以首先對(duì)f(x)求導(dǎo),得f(1)=a/2-b,則a/2-b=-1/2,解為a=1。
我們看第二個(gè)問題:求k的取值范圍。
第二個(gè)問題非常困難。我們先給大家分享參考答案的解決方案,然后重點(diǎn)給大家分享一個(gè)比較容易理解和想到的解決方案。
解決方案一:
f(x)>lnx/(x-1)+k/x等價(jià)于f(x)-lnx/(x-1)-k/x>0,因此成為函數(shù)g(x)的最小值=f(x)-lnx/(x-1)-k/x大于零。
首先推導(dǎo)g(x)的導(dǎo)數(shù),然后將k分為(-,0]、(0,1)、(1,+)三種情況進(jìn)行討論,最終得到k的取值范圍。
關(guān)于方案一,很多同學(xué)表示很難想到將k分為這三類來(lái)討論,所以本文不再贅述。有興趣的同學(xué)可以看看上圖的分析。接下來(lái)我重點(diǎn)討論第二種解決方案。
解決方案二:
要找到參數(shù)的取值范圍,高中時(shí)一個(gè)很重要的方法就是參數(shù)變量分離,即參數(shù)和變量分離。本題參數(shù)變量分離后,當(dāng)x0且x1時(shí),k-2xlnx/(x^2-1)+1始終為真,因此轉(zhuǎn)化為恒真問題。進(jìn)一步變換,當(dāng)x>0且x1時(shí),k小于或等于函數(shù)g(x)=-2xlnx/(x^2-1)+1的最小值。
首先求g(x)的導(dǎo)數(shù),如下圖所示。從g(x)的表達(dá)式來(lái)看,g(x)的符號(hào)取決于分子的符號(hào),所以我們首先討論分子的符號(hào)。設(shè)h(x)=x^2-x^2lnx-lnx-1,則h(x)=x-2xlnx-1/x,h(x)=1/x^2-2lnx-1。
由于當(dāng))=0時(shí)h(x)是遞減函數(shù)。因此,當(dāng)0g(1)時(shí)。
然而,當(dāng)x=1時(shí),g(x)沒有意義,也就是說無(wú)法求出g(1)的值。那么我們應(yīng)該做什么呢?如果我們只看g(x)的分?jǐn)?shù),我們可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)x=1時(shí),分子和分母都為零,并且分子和分母的導(dǎo)數(shù)都存在,因此可以使用洛皮塔爾定律求解。即先求分子和分母的導(dǎo)數(shù),然后求極限,從而得到g(1)=0。所以有k0。
洛皮達(dá)規(guī)則解決這道題的思路比解法1簡(jiǎn)單,但是在高考中使用洛皮達(dá)規(guī)則可能會(huì)被扣分,所以在高考中盡量少使用洛皮達(dá)規(guī)則。返回搜狐查看更多
編輯:
相關(guān)資訊
- 有那么一棵樹中考滿分作文(有那么一棵樹中考作文)
- 報(bào)名對(duì)口單招對(duì)高考有影響嗎(報(bào)名對(duì)口單招把畢業(yè)學(xué)校填錯(cuò)了)
- 江蘇中考范文作文(江蘇中考范文滿分多少)
- 納米技術(shù)就在我們身邊的導(dǎo)學(xué)案(昆明方正小學(xué))
- 期中考試總結(jié)結(jié)尾怎么寫(期中考試總結(jié)結(jié)尾勵(lì)志語(yǔ))
- 深圳中考數(shù)學(xué)常考題型(深圳 中考 數(shù)學(xué))
- 研途有你下一句(研途有你,共促成長(zhǎng))
- 浙江省上虞中學(xué)怎么樣(上虞中學(xué)在哪)