2011年數(shù)學(xué)高考卷(2011年高考數(shù)學(xué)試題)

原標(biāo)題：2011年高考數(shù)學(xué)最后一題，綜合導(dǎo)數(shù)題，正確率小于5

大家好！本文想跟大家分享的是2011年高考卷一的數(shù)學(xué)最后一道題。這是一道關(guān)于導(dǎo)數(shù)的綜合題，全面考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、線性方程組、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，以及分類討論。這題比較難，尤其是第二題，準(zhǔn)確率不到5%。

我們先看第一個(gè)問題：求a和b的值。

a和b是兩個(gè)參數(shù)，要求兩個(gè)未知數(shù)的值需要兩個(gè)方程，即需要兩個(gè)條件。但該題只告訴了正切方程的一個(gè)條件，所以我們需要充分挖掘正切方程中隱藏的信息。

首先，切線經(jīng)過點(diǎn)(1,f(1))，因此將x=1代入切線方程可得y=1，即f(1)=1。根據(jù)f(x)的解析公式，f(1)=b，所以b=1。

其次，從切線方程我們可以發(fā)現(xiàn)，切線的斜率為-1/2。結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得f(1)=-1/2。所以首先對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f(1)=a/2-b，則a/2-b=-1/2，解為a=1。

我們看第二個(gè)問題：求k的取值范圍。

第二個(gè)問題非常困難。我們先給大家分享參考答案的解決方案，然后重點(diǎn)給大家分享一個(gè)比較容易理解和想到的解決方案。

解決方案一：

f(x)>lnx/(x-1)+k/x等價(jià)于f(x)-lnx/(x-1)-k/x>0，因此成為函數(shù)g(x)的最小值=f(x)-lnx/(x-1)-k/x大于零。

首先推導(dǎo)g(x)的導(dǎo)數(shù)，然后將k分為(-,0]、(0,1)、(1,+)三種情況進(jìn)行討論，最終得到k的取值范圍。

關(guān)于方案一，很多同學(xué)表示很難想到將k分為這三類來(lái)討論，所以本文不再贅述。有興趣的同學(xué)可以看看上圖的分析。接下來(lái)我重點(diǎn)討論第二種解決方案。

解決方案二：

要找到參數(shù)的取值范圍，高中時(shí)一個(gè)很重要的方法就是參數(shù)變量分離，即參數(shù)和變量分離。本題參數(shù)變量分離后，當(dāng)x0且x1時(shí)，k-2xlnx/(x^2-1)+1始終為真，因此轉(zhuǎn)化為恒真問題。進(jìn)一步變換，當(dāng)x>0且x1時(shí)，k小于或等于函數(shù)g(x)=-2xlnx/(x^2-1)+1的最小值。

首先求g(x)的導(dǎo)數(shù)，如下圖所示。從g(x)的表達(dá)式來(lái)看，g(x)的符號(hào)取決于分子的符號(hào)，所以我們首先討論分子的符號(hào)。設(shè)h(x)=x^2-x^2lnx-lnx-1，則h(x)=x-2xlnx-1/x，h(x)=1/x^2-2lnx-1。

由于當(dāng))=0時(shí)h(x)是遞減函數(shù)。因此，當(dāng)0g(1)時(shí)。

然而，當(dāng)x=1時(shí)，g(x)沒有意義，也就是說無(wú)法求出g(1)的值。那么我們應(yīng)該做什么呢？如果我們只看g(x)的分?jǐn)?shù)，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=1時(shí)，分子和分母都為零，并且分子和分母的導(dǎo)數(shù)都存在，因此可以使用洛皮塔爾定律求解。即先求分子和分母的導(dǎo)數(shù)，然后求極限，從而得到g(1)=0。所以有k0。

洛皮達(dá)規(guī)則解決這道題的思路比解法1簡(jiǎn)單，但是在高考中使用洛皮達(dá)規(guī)則可能會(huì)被扣分，所以在高考中盡量少使用洛皮達(dá)規(guī)則。返回搜狐查看更多

編輯：